Trouver qu’un nombre est un nombre de Fibonacci
La suite de Fibonacci est une suite de nombre dont un terme est la somme des 2 précédents, commençant par les termes 0 et 1.
La suite donne les nombres 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… avec F0=0, F1=1, etc.
Mais j’ai constaté que, quel que soit n≥2,
Fn=1+Σi=0->(n-2)(Fi)
Exemple : 21 = (8 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1 + 0) + 1
Autrement dit, un nombre de Fibonacci est égal à la somme des nombres précédents, exceptés celui qui le précède immédiatement, plus 1.
A la base, je cherchais un moyen de savoir, de manière non empirique (c’est-à-dire sans tester toutes les valeurs), si un nombre était un nombre de Fibonacci ou pas.
Petite note : pour n tendant vers ∞, Fn/Fn-1 tendra vers (1+√5)/2 ≈ 1.618034, soit le nombre d’or (on l’appellera G). Pour la petite info supplémentaire, G est l’une des réponses à l’équation x2 – x – 1 = 0.
On peut supposer qu’un nombre entier naturel positif, si on le divise par G et qu’on arrondit le résultat à un certain nombre de décimales, et que le résultat arrondi est un entier naturel positif, alors le premier nombre est un nombre de Fibonacci…
Par exemple : 34/G ≈ 21.013, arrondi à 1 décimale à 21.0, donc 21. L’arrondi fonctionnera d’autant plus que le nombre initial est grand (si on prend 3/G, on obtient 1.854102, donc l’arrondi même à 1 décimale ne sera pas correct).
Fait étonnant, on retrouve ce principe de proportionnalité dans les fréquences des notes de musiques, G valant dans ce cas 12√2 = 21/12 ≈ 1.059 (racine douzième de 2 ou 2 puissance 1/12, soit un nombre qui, multiplié 12 fois par lui-même, donne 2).
Bref, à force de regarder la série Numb3rs,
je reprends goût aux mathématiques…